被单位辞退的处理结果可能受以下特殊情况影响，需结合自身实际分析。
1. 您属于“三期”女职工或工伤职工：若您因怀孕、生育、哺乳或工伤处于医疗期内被辞退，单位的辞退行为属于违法，您可主张赔偿金，同时家中86岁老人的赡养情况可作为向单位协商额外补助的理由，单位可能因避免法律纠纷而增加补偿金额。
2. 单位已进入破产清算程序：若单位因破产辞退您，您的经济补偿将作为破产债权优先受偿，但受单位破产财产数额限制，可能无法全额获得补偿，此时需及时向破产管理人申报债权，并说明赡养86岁老人的情况，争取优先分配部分财产。
3. 您与单位签订了“竞业限制协议”：若辞退后协议仍有效，您需遵守竞业限制义务，同时可要求单位支付竞业限制补偿金，该补偿金可补充赡养老人的资金，但需注意协议中关于补偿金标准及支付方式的约定。
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被单位辞退且需赡养86岁老人时，可能面临以下法律风险，需提前防范。
1. 证据链断裂风险：若您未保留辞退通知、工资条等关键证据，单位可能否认辞退事实或压低工资标准，导致仲裁时无法获得足额补偿。例如，您仅能提供工作证证明劳动关系，但无法证明月工资为8000元，仲裁委可能按当地最低工资标准计算补偿，减少的金额将直接影响86岁老人的赡养费用。
2. 仲裁/诉讼周期长导致经济困难风险：劳动仲裁至诉讼的周期通常为3-6个月，若单位故意拖延流程，周期可能更长，期间您可能因无收入无法支付老人的医疗费、生活费等必要开支，导致老人生活质量下降。
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针对被单位辞退的权益主张，可依据《中华人民共和国劳动合同法》的具体条款分析合法性及补偿标准。
根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。若您工作5年，月均工资6000元，则合法辞退的经济补偿为5×6000=30000元。

若单位违法辞退，依据第四十八条，您可要求继续履行合同，或主张赔偿金（即经济补偿的2倍）。例如单位无理由辞退您，您可主张60000元赔偿金。家中86岁老人的赡养情况虽不直接改变补偿标准，但可在协商中说明生活压力，辅助争取更优方案。
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被单位辞退后，部分常见错误操作可能导致权益受损，需特别注意。
1. 直接签署“自愿离职申请”：部分单位会以“帮您规避辞退记录影响再就业”为由，诱导您签署自愿离职申请，一旦签署将无法主张经济补偿/赔偿金，即使家中有86岁老人需赡养也无法挽回权益。
2. 未及时收集证据：辞退后未第一时间保存劳动合同、工资条等证据，若单位销毁或篡改记录，将难以证明劳动关系及工资标准，导致仲裁时无法准确计算补偿金额，影响赡养老人的资金来源。
3. 超过仲裁时效仍未维权：劳动仲裁时效为辞退后1年内，若因照顾86岁老人疏忽维权时间，超过时效后再申请仲裁，仲裁委将不予受理，直接失去合法权益主张机会。

若您已出现上述错误操作，或不确定自己的行为是否影响权益，建议尽快向专业律师咨询补救措施。

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